La seguente sequenza di dimostrazioni relativistiche mostra un percorso alternativo che, partendo dalla fisica classica, conduce alla derivazione della Relatività Speciale.

La relazione E=mc² ricavata dalla fisica classica è il primo anello nella catena delle dimostrazioni relativistiche.

Il lettore può facilmente riscontrare che ogni dimostrazione che segue si avvale dei risultati di quelle che precedono.  

In questo modo si dimostra che, contrariamente alla convinzione generale, esiste un nesso fra meccanica classica e relativistica.

Inoltre, si può constatare che la Teoria della Relatività è ricavabile, senza dover presupporre alcun postulato, con un metodo più semplice e intuitivo di quello convenzionale.

L’equivalenza tra energia e massa E = mc²

Dalla relazione della quantità di moto per la radiazione elettromagnetica p = E/c si può dimostrare la formula del principio di equivalenza tra energia e massa E = mc² col solo uso della fisica classica (vedi derivazione).

La formula della massa relativistica

La relazione dell’energia dE = mvdv + v²dm dalla Seconda Legge della Dinamica in connessione con il principio di equivalenza E = mc² dà la formula della massa relativistica e quindi la quantità di moto relativistica (vedi derivazione):

\[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad ; \quad p = mv = \frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \]

L’energia cinetica e totale relativistica

La relazione dell’energia dE = mvdv + v²dm dalla Seconda Legge della Dinamica in connessione con E = mc² e con la formula della massa relativistica fornisce l’equazione dell’energia cinetica e totale del corpo materiale (vedi derivazione):

\[ E_k = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} – m_0c^2 \quad ; \quad E_g = mc^2 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \]

Il triangolo relativistico E-p-m

Il triangolo relativistico E-p-m illustra in modo molto chiaro le relazioni che intercorrono tra energia, quantità di moto e massa del corpo materiale a velocità elevate (vedi derivazione).

La composizione relativistica delle velocità

Dalle relazioni della quantità di moto e dell’energia totale si può derivare la formula della composizione relativistica delle velocità (vedi derivazione):

\[ v_{12} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1v_2}{c^2}} \]

La costanza della velocità della luce

La dimostrazione teorica della costanza della velocità della luce può essere ottenuta dalla formula della composizione relativistica delle velocità (vedi derivazione).

La contrazione dello spazio e la dilatazione del tempo

Le formule relativistiche della contrazione delle lunghezze e della dilatazione del tempo possono essere derivate dalla relazione dell’energia totale (vedi derivazione):

\[l^´ = l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\quad ; \quad t^´ = t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]

Le trasformazioni di Lorentz per lo spazio e il tempo

Le trasformazioni di Lorentz per lo spazio e il tempo possono essere derivate dalla relazione relativistica della contrazione delle lunghezze (vedi derivazione):

\[x^´ =\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\quad ; \quad t^´ =\frac{t-\frac{xv}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

L’effetto Doppler relativistico

La formula relativistica della frequenza della radiazione elettromagnetica può essere derivata dalle relazioni relativistiche della quantità di moto e dell’energia totale (vedi derivazione):

\[f_1=f\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\quad ; \quad f_2=f\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\]

L’accelerazione longitudinale e trasversale

La Seconda Legge della Dinamica in connessione con il principio di equivalenza E=mc² e con la formula della massa fornisce la formula relativistica dell’accelerazione longitudinale e trasversale (vedi derivazione):

\[a_L=\frac{F_L}{m_0}\left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^\frac{3}{2}\quad ; \quad a_T=\frac{F_T}{m_0}\left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^\frac{1}{2}\]

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Il libro “Newton e la Relatività” di Francesco Cester espone una trattazione dettagliata di questa sequenza di dimostrazioni relativistiche.

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