Il Secondo Principio della Dinamica, in connessione con la relazione E=mc² e con la formula della massa relativistica, consente una derivazione alternativa dell’energia relativistica del corpo materiale.

Poiché sia il principio di equivalenza fra energia e massa E=mc², sia la formula della massa in funzione della velocità sono state dimostrate senza l’ausilio di assiomi relativistici, questa derivazione dell’energia relativistica rappresenta il terzo anello nella catena di dimostrazioni che, partendo dalla fisica classica, conduce alla Teoria della Relatività Speciale su un percorso alternativo semplice e intuitivo.

La formula dell’energia relativistica qui ricavata viene utilizzata in seguito, insieme a quella della quantità di moto, per dimostrare tutte le altre formule della Relatività Speciale, compresa quella della composizione relativistica della velocità.

Quest’ultima relazione consente quindi la dimostrazione teorica della costanza della velocità della luce.

Descrizione della dimostrazione in forma ridotta  

(Per la versione dettagliata della dimostrazione rimandiamo al sesto capitolo del libro “Newton e la Relatività”).

Nel caso più generale, che prevede anche masse variabili a velocità elevate, si ricava dalla Seconda Legge della Dinamica la seguente equazione differenziale:

\[ dE_k = v^2dm+mvdv \quad\quad (1.5) \]

La relazione (1.5) è valida per l’incremento infinitesimale dell’energia cinetica di un corpo materiale non vincolato e soggetto ad una forza costante nella stessa direzione del moto.

Dalla relazione (1.5) per sostituzione di dm e m con le relazioni del Principio di Equivalenza massa-energia (6.2) e della massa relativistica ((5.4)5.4):

\[ dm = \frac{dE_k}{c^2} \quad \quad \quad\quad(6.2)\] \[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad\quad\quad((5.4)5.4)\]

si ottiene la seguente equazione differenziale:

\[ dE_k =v^2\frac{dE_k}{c^2}+\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}vdv \quad \]

la cui integrazione fornisce l’espressione dell’energia cinetica relativistica:

\[ E_k = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} – m_0c^2\quad\quad (6.4) \]
Derivazione dell'energia relativistica - Energia cinetica in funzione della velocità

Poiché m0c2 rappresenta l’energia della massa a riposo, dalla (6.4) risulta che il termine: 

\[ \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} = mc^2 \quad \]

corrisponde all’energia totale, pari alla somma dell’energia a riposo e dell’energia cinetica del corpo materiale non vincolato.  

Questa derivazione sta a dimostrare un ulteriore caso di compatibilità della legge di Newton con la Teoria della Relatività.

La versione dettagliata della derivazione alternativa dell’energia relativistica è riportata nel capitolo sesto del libro “Newton e la Relatività“.

Prosegui sul percorso alternativo delle dimostrazioni relativistiche: composizione relativistica delle velocità.

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