La derivazione dell’energia relativistica è direttamente ricavabile dal principio di equivalenza energia-massa applicato alla formula della massa relativistica.
Spiegazione euristica della derivazione
Dal principio di equivalenza energia-massa consegue che l’energia corrispondente a una massa m0 è pari a m0c2.
Nella dimostrazione del suddetto principio (vedi qui) si è supposto che la massa m0 si trovi in quiete.
Questa condizione non è però necessaria. Questo implica la possibilità di estendere l’equivalenza energia-massa anche a masse in moto.
Nel caso più generale possiamo asserire che il principio di equivalenza possa essere espresso dalla seguente relazione:
\[E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\quad\quad (1)\]ottenuta sostituendo alla massa a riposo il corrispondente termine di una massa in movimento in dipendenza della velocità.
In quest’ultimo caso la relazione (1) esprime l’energia totale di un corpo materiale in moto.
Poiché si tratta di un corpo non vincolato, la sua energia totale dovrà essere necessariamente uguale solo alla somma delle energie cinetica e a riposo:
\[\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=E_c+m_0c^2\]Per l’energia cinetica si ricava quindi la seguente relazione:
\[E_c=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-m_0c^2\]Fino a questo punto abbiamo fornito una derivazione dell’energia relativistica connessa a una spiegazione euristica della stessa.
Ora vogliamo vedere come il secondo principio della dinamica di Newton ci possa fornire una dimostrazione rigorosa della stessa relazione dell’energia cinetica e totale del corpo materiale.
Dimostrazione con la legge di Newton
Il Secondo Principio della Dinamica, in connessione con la relazione E=mc² e con la formula della massa relativistica, consente una derivazione alternativa dell’energia relativistica del corpo materiale.
Poiché sia il principio di equivalenza fra energia e massa E=mc², sia la formula della massa in funzione della velocità sono state dimostrate senza l’ausilio di assiomi relativistici, questa derivazione dell’energia relativistica rappresenta il terzo anello nella catena di dimostrazioni che, partendo dalla fisica classica, conduce alla Teoria della Relatività Speciale su un percorso alternativo semplice e intuitivo.
La formula dell’energia relativistica qui ricavata viene utilizzata in seguito, insieme a quella della quantità di moto, per dimostrare tutte le altre formule della Relatività Speciale, compresa quella della composizione relativistica delle velocità.
Quest’ultima relazione consente quindi la dimostrazione teorica della costanza della velocità della luce.
Descrizione della dimostrazione in forma ridotta
(Per la versione dettagliata della dimostrazione rimandiamo al sesto capitolo del libro “Newton e la Relatività”).
Nel caso più generale, che prevede anche masse variabili a velocità elevate, si ricava dalla Seconda Legge della Dinamica la seguente equazione differenziale:
\[ dE_c = v^2dm+mvdv \quad\quad (1.5) \]La relazione (1.5) è valida per l’incremento infinitesimale dell’energia cinetica di un corpo materiale non vincolato e soggetto ad una forza costante nella stessa direzione del moto.
Dalla relazione (1.5) per sostituzione di dm e m con le relazioni del Principio di Equivalenza massa-energia (6.2) e della massa relativistica (5.4):
\[ dm = \frac{dE_c}{c^2} \quad \quad \quad\quad(6.2)\] \[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad\quad\quad(5.4)\]si ottiene la seguente equazione differenziale:
\[ dE_c =v^2\frac{dE_c}{c^2}+\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}vdv \quad \]la cui integrazione fornisce l’espressione dell’energia cinetica relativistica:
\[ E_c= \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} – m_0c^2\quad\quad (6.4) \]
Poiché m0c2 rappresenta l’energia della massa a riposo, dalla (6.4) risulta che il termine:
\[ \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} = mc^2 \quad \]corrisponde all’energia totale, pari alla somma dell’energia a riposo e dell’energia cinetica del corpo materiale non vincolato.
Questa derivazione sta a dimostrare un ulteriore caso di compatibilità della legge di Newton con la Teoria della Relatività.
La versione dettagliata della derivazione alternativa dell’energia relativistica è riportata nel capitolo sesto del libro “Newton e la Relatività“.
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Con il Relativistic Energy Calculator puoi calcolare l’energia di un corpo in funzione della sua massa e velocità.
Prosegui sul percorso alternativo delle dimostrazioni relativistiche:
Leggi come la composizione relativistica delle velocità possa essere derivata con l’uso dell’energia totale qui dimostrata.
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