La derivazione dell’Effetto Doppler relativistico può essere fatta applicando i principi di conservazione dell’energia e della quantità di moto al processo fisico dell’annichilazione di coppia.

(Questa è una versione ridotta della derivazione dell’Effetto Doppler relativistico. Per la derivazione dettagliata cliccare qui).

In seguito all’annichilazione della coppia elettrone-positrone, si forma una particella instabile al cui decadimento può seguire l’emissione di due fotoni in direzioni opposte:

Cliccare ripetutamente la superficie rettangolare per farsi illustrare il processo

Con questo processo tutta la massa della particella si trasforma nell’energia 2hf dei due fotoni emessi. Perciò:

Per un osservatore che si trovi in quiete con la particella è applicabile la seguente relazione sulla conservazione dell’energia prima e dopo l’annichilazione:

\[ m_0c^2= 2hf \]

Dove m0 è la massa della particella instabile formatasi dopo l’annichilazione, c è la velocità della luce nel vuoto, h è la costante di Planck e f è la frequenza elettromagnetica associata ai fotoni.

Per un secondo osservatore, che si muove con la velocità v nella direzione di uno dei due fotoni, sono invece valide le seguenti relazioni della conservazione dell’energia:

\[ \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=hf_1+hf_2\]

e della quantità di moto, prima e dopo l’annichilazione:

\[ \frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{hf_1}{c}-\frac{hf_2}{c}\]

La risoluzione delle tre equazioni rispetto alle frequenze f1 e f2 misurate dall’osservatore in moto, in funzione della frequenza f vista dall’osservatore in quiete, conduce alle relazioni dell’Effetto Doppler ottico relativistico per una fonte luminosa che si avvicini:

\[f_1=f\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\]
Derivazione dell'Effetto Doppler relativistico - Effetto Doppler relativistico per fonte luminosa che si avvicina

e per una fonte luminosa che si allontani:

\[f_2=f\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\]
Derivazione dell'Effetto Doppler relativistico - Effetto Doppler relativistico per fonte luminosa che si allontana

La versione dettagliata della derivazione dell’Effetto Doppler relativistico è riportata nel capitolo quindicesimo del libro “Newton e la Relatività“.

Prosegui sul percorso alternativo delle dimostrazioni relativistiche: dimostrazione dell’accelerazione relativistica.

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