Die Beweise von E=mc² aus der klassischen Physik stellen den ersten Schritt auf einem alternativen Weg dar, der zur Relativitätstheorie führt, wie auf dieser Website beschrieben.
Für den Nachweis der Äquivalenz von Masse und Energie ist die Relativitätstheorie nicht erforderlich.
In der Tat hat Einstein selbst gezeigt (siehe: Max Born – Die Relativitätstheorie Einsteins – S. 244-247), dass sich die Beziehung E=mc² auf sehr einfache Weise allein aus den Gesetzen der klassischen Physik ableiten lässt.
Im dritten und vierten Kapitel des Buches “Newton und die Relativität” wird gezeigt, dass die Äquivalenz von Masse und Energie eine Folge der Impulserhaltung bei der Wechselwirkung zwischen Materie und elektromagnetischer Strahlung ist.
Herleitung von E=mc² basierend auf dem “Strahlungsdruck”
Durch die Emission von Radiation erhält ein ruhender Körper einen Gegenimpuls, der bewirkt, dass er sich in die entgegengesetzte Richtung der Strahlung bewegt:
Klicken Sie auf die rechteckige Fläche, um den Prozess zu veranschaulichen
Die Impulsbilanz zwischen Materie und Strahlung reicht aus, um eine Zunahme oder Abnahme von Masse durch einen absorbierenden bzw. emittierenden Körper nachzuweisen.
Mithilfe eines Gedankenexperiments (siehe Animation) erhält man die Gleichung E=mc² auf einfache Weise aus der Beziehung des elektromagnetischen Impulses p=E/c.
Der Beweis basiert auf der Tatsache, dass der Schwerpunkt eines unbewegten Inertialsystems nach einem internen Energieaustausch in Ruhe bleibt.
Beschreibung der Herleitung in gekürzter Fassung
(Für die detaillierte Version des Beweises verweisen wir auf das dritte Kapitel des Buches „Newton und die Relativität“).
Das oben erwähnte Gedankenexperiment ermöglicht es, drei physikalische Aspekte zu berücksichtigen. Diese geben die Möglichkeit, ebenso viele elementare Relationen aufzustellen.
- Die erste Relation betrifft die Zeiten:
In der Zeit Δt, die die Strahlung benötigt, um den absorbierenden Körper auf der rechten Seite zu erreichen, legt der emittierende Körper auf der linken Seite die Strecke Δl mit der Geschwindigkeit v zurück:
\[ \Delta t=\frac{l}{c}=\frac{\Delta l}{v} \]Dabei ist l der Anfangsabstand zwischen den beiden Körpern und c die Lichtgeschwindigkeit.
- Die zweite Relation bezieht sich auf die Lage des Schwerpunkts, die - trotz der Verschiebung des emittierenden Körpers - unverändert bleibt:
Wobei Δm die vom emittierenden Körper abgegebene und vom absorbierenden Körper aufgenommene Masse darstellt.
- Die dritte und letzte Beziehung ergibt sich aus dem Gesetz der Impulserhaltung.
Nach diesem Prinzip ist der Impuls der emittierten Strahlung E/c gleich dem Impuls des emittierenden Körpers:
\[ (m-\Delta m)v=\frac{E}{c} \]Wobei E die Energie der elektromagnetischen Strahlung darstellt.
Die Lösung des Gleichungssystems aus den drei oben genannten Relationen ergibt die Beziehung
\[ \Delta m=\frac{E}{c^2} \]des Äquivalenzprinzips zwischen Masse und Energie.
Herleitung von E=mc² basierend auf dem Doppler-Effekt
Eine weitere einfache Herleitung des Masse-Energie-Äquivalenzprinzips kann mithilfe des Dopplereffekts elektromagnetischer Strahlung erfolgen.
Als Gedankenexperiment dient die Annihilation des Elektron-Positron-Paares.
Beschreibung der Herleitung in reduzierter Form
(Für die detaillierte Version der Herleitung verweisen wir auf das vierte Kapitel des Buches “Newton und die Relativität“).
Aus dem Zerfall des durch die Elektron-Positron-Kollision gebildeten Teilchens kann die Emission zweier Photonen in entgegengesetzte Richtungen erfolgen (siehe Animation).
Für einen Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit v (v << c) in Richtung eines der beiden Photonen bewegt, gilt aufgrund der Impulserhaltung vor und nach der Photonenbildung folgende Relation:
\[m_0v=\frac{hf}{c}(1+\frac{v}{c})-\frac{hf}{c}(1-\frac{v}{c})\quad\quad(1) \]Wobei:
m0 ist die Masse des nach der Annihilation gebildeten instabilen Teilchens
c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
h ist das Plancksche Wirkungsquantum
f ist die zu den Photonen zugehörige elektromagnetische Frequenz
In Anbetracht dessen, dass 2hf die Gesamtenergie E des Systems ist, erhalten wir aus der Beziehung (1): E = m0c².
Die Beweise von E=mc² aus der klassischen Physik stellen das Bindeglied zwischen der Newtonschen und der relativistischen Mechanik dar, wie es aus der Herleitung der relativistischen Massenformel hervorgeht.
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Weiter auf dem alternativen Weg der relativistischen Beweise: Alternative Herleitung der Massenformel.
Bei dem Beweis über den Dopplerefekt benutzen Sie aber das Ergebnis des Michelson -Experiments. Denn die angegebene Gleichung gilt nur, wenn es keinen Äther gibt. Und das wissen wir erst nach diesem Versuch, der ja die Relativitätstheorie begründete. Mit Äther ergibt sich mit der Gleichung keine Masse-Energie-Äquivalenz. Die anderen von Ihnen angeführten Beweise habe ich noch nicht genau geprüft.
Grüße
Gunter Berauer
Hallo Herr Berauer,
Es stimmt. Relation (1) ist ein Ergebnis des Michelson-Experiments. Der hier aufgeführte Beweis ist eine kurze Zusammenfassung einer ausführlicheren Herleitung. Diese Herleitung finden Sie im dritten Kapitel meines Buches „Newton und die Relativität”. In der Fußnote auf der vierten Seite des Kapitels wird ausführlich auf die Frage eingegangen, die Ihren Kommentar ausgelöst hat.
Francesco Cester