Das zweite Gesetz der Dynamik, in Verbindung mit E=mc² und mit der relativistischen Massenformel, ermöglicht eine alternative Herleitung der relativistischen Energie des physikalischen Körpers.

Sowohl das Äquivalenzprinzip von Energie und Masse E=mc² als auch die Formel der Masse als Funktion der Geschwindigkeit wurden ohne Zuhilfenahme relativistischer Axiome bewiesen. Darum stellt diese Herleitung der relativistischen Energie das dritte Glied in der Beweiskette dar, die, ausgehend von der klassischen Physik, auf einem einfachen und intuitiven alternativen Weg zur Speziellen Relativitätstheorie führt.

Die hier abgeleitete Formel der relativistischen Energie wird später zusammen mit der des Impulses verwendet, um alle anderen Formeln der Speziellen Relativitätstheorie zu beweisen, einschließlich derjenigen der relativistischen Geschwindigkeitsaddition.

Diese letzte Beziehung ermöglicht daher den theoretischen Nachweis der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Beschreibung des Beweises in reduzierter Form

(Für die detaillierte Version der Herleitung klicken Sie hier).

Im allgemeineren Fall, der auch variable Massen bei hohen Geschwindigkeiten vorsieht, wird die folgende Differentialgleichung aus dem zweiten Gesetz Newtons abgeleitet:

\[ dE_k = v^2dm+mvdv \quad\quad (1.5) \]

Die Beziehung (1.5) gilt für die infinitesimale Veränderung der kinetischen Energie eines ungebundenen Körpers, der einer konstanten Kraft in die Bewegungsrichtung ausgesetzt ist.

Aus der Beziehung (1.5) durch Ersetzen von dm und m durch die Relationen des Masse-Energie-Äquivalenzprinzips (6.2) und der relativistischen Masse ((5.4)5.4):

\[ dm = \frac{dE_k}{c^2} \quad \quad \quad\quad(6.2)\] \[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad\quad\quad((5.4)5.4)\]

erhält man die folgende Differentialgleichung:

\[ dE_k =v^2\frac{dE_k}{c^2}+\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}vdv \quad \]

deren Integration den Ausdruck der relativistischen kinetischen Energie liefert:

\[ E_k = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} – m_0c^2\quad\quad (6.4) \]
Alternative Herleitung der relativistischen Energie - Kinetische Energie in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

Da m0c2 der Energie der ruhenden Masse entspricht, folgt aus (6.4), dass die Relation:

\[ \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} = mc^2 \quad \]

die Gesamtenergie darstellt, die gleich der Summe der Ruhe-Energie und der kinetischen Energie des ungebundenen Körpers ist.

Diese Herleitung zeigt einen weiteren Fall von Kompatibilität des Newtonschen Gesetzes mit der Relativitätstheorie.

Diese alternative Herleitung der relativistischen Energie wird in detaillierter Form im sechsten Kapitel des Buches „Newton und die Relativität“ beschrieben.

Weiter auf dem alternativen Weg der relativistischen Beweise: Relativistische Addition der Geschwindigkeiten.

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