Die Herleitung der relativistischen Energie kann direkt aus dem Energie-Masse-Äquivalenzprinzip, das auf die relativistische Massenformel angewandt wird, erfolgen.
Heuristische Erklärung der Herleitung
Aus dem Energie-Masse-Äquivalenzprinzip folgt, dass die einer Masse m0 entsprechende Energie gleich m0c2 ist.
Bei dem Beweis des obigen Prinzips (siehe hier) wurde angenommen, dass sich die Masse m0 in Ruhezustand befindet.
Diese Bedingung ist jedoch nicht erforderlich. Dies bedeutet, dass die Energie-Masse-Äquivalenz auch auf bewegte Massen ausgeweitet werden kann.
Im allgemeinsten Fall können wir annehmen, dass das Äquivalenzprinzip durch die folgende Beziehung ausgedrückt werden kann:
\[E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\quad\quad (1)\]die man erhält, indem man die ruhende Masse durch den entsprechenden Term einer bewegten Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit ersetzt.
Im letzteren Fall drückt die Beziehung (1) die Gesamtenergie eines physikalischen Körpers in Bewegung aus.
Da es sich um einen ungebundenen Körper handelt, muss seine Gesamtenergie notwendigerweise nur gleich der Summe seiner kinetischen und seiner Ruheenergie sein:
\[\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=E_c+m_0c^2\]Für die kinetische Energie ergibt sich dann die folgende Relation:
\[E_c=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-m_0c^2\]Bis zu diesem Punkt haben wir eine Ableitung der relativistischen Energie in Verbindung mit einer heuristischen Erklärung geliefert.
Nun wollen wir sehen, wie durch die Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes der Dynamik eine rigorose Herleitung der gleichen Beziehung zwischen kinetischer und Gesamtenergie des physikalischen Körpers erfolgen kann.
Herleitung mit dem Newtonschen Gesetz
Das zweite Gesetz der Dynamik, in Verbindung mit E=mc² und mit der relativistischen Massenformel, ermöglicht eine alternative Herleitung der relativistischen Energie des physikalischen Körpers.
Sowohl das Äquivalenzprinzip von Energie und Masse E=mc² als auch die Formel der Masse als Funktion der Geschwindigkeit wurden ohne Zuhilfenahme relativistischer Axiome bewiesen. Darum stellt diese Herleitung der relativistischen Energie das dritte Glied in der Beweiskette dar, die, ausgehend von der klassischen Physik, auf einem einfachen und intuitiven alternativen Weg zur Speziellen Relativitätstheorie führt.
Die hier abgeleitete Formel der relativistischen Energie wird später zusammen mit der des Impulses verwendet, um alle anderen Formeln der Speziellen Relativitätstheorie zu beweisen, einschließlich derjenigen der relativistischen Geschwindigkeitsaddition.
Diese letzte Beziehung ermöglicht daher den theoretischen Nachweis der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Beschreibung des Beweises in reduzierter Form
(Für die detaillierte Version der Herleitung klicken Sie hier).
Im allgemeineren Fall, der auch variable Massen bei hohen Geschwindigkeiten vorsieht, wird folgende Differentialgleichung aus dem Gesetz Newtons abgeleitet:
\[ dE_k = v^2dm+mvdv \quad\quad (1.5) \]Die Beziehung (1.5) gilt für die infinitesimale Veränderung der kinetischen Energie eines ungebundenen Körpers, der einer konstanten Kraft in die Bewegungsrichtung ausgesetzt ist.
Aus der Beziehung (1.5) durch Ersetzen von dm und m durch die Relationen des Masse-Energie-Äquivalenzprinzips (6.2) und der relativistischen Masse (5.4):
\[ dm = \frac{dE_k}{c^2} \quad \quad \quad\quad(6.2)\] \[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad\quad\quad(5.4)\]erhält man die folgende Differentialgleichung:
\[ dE_k =v^2\frac{dE_k}{c^2}+\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}vdv \quad \]deren Integration den Ausdruck der relativistischen kinetischen Energie liefert:
\[ E_k = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} – m_0c^2\quad\quad (6.4) \]
Da m0c2 der Energie der ruhenden Masse entspricht, folgt aus (6.4), dass die Relation:
\[ \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} = mc^2 \quad \]die Gesamtenergie darstellt, die gleich der Summe der Ruhe-Energie und der kinetischen Energie des ungebundenen Körpers ist.
Diese Herleitung zeigt einen weiteren Fall von Kompatibilität des Newtonschen Gesetzes mit der Relativitätstheorie.
Diese alternative Herleitung der relativistischen Energie wird in detaillierter Form im sechsten Kapitel des Buches „Newton und die Relativität“ beschrieben.
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Mit dem Relativistic Energy Calculator können Sie die Energie eines Körpers in Abhängigkeit von seiner Masse und Geschwindigkeit berechnen.
Weiter auf dem alternativen Weg der relativistischen Beweise:
Lesen Sie, wie sich unter Verwendung der hier hergeleiteten Gesamtenergie die relativistische Addition der Geschwindigkeiten ableiten lässt.
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