Una derivazione alternativa della contrazione delle lunghezze può essere eseguita senza la trasformazione di Lorentz, usando la legge di conservazione dell’energia.

(Questa è una versione ridotta della derivazione della contrazione delle lunghezze. Per la derivazione dettagliata cliccare qui).

Per la derivazione della contrazione delle lunghezze immaginiamo in un esperimento ideale la collisione di un elettrone e un positrone.

Derivazione della contrazione delle lunghezze - Collisione di elettrone e positrone rilevata da un osservatore in quiete e da un osservatore in moto verticale

Si assume che in seguito all’urto si formi una nuova particella che si trovi nell’origine di un sistema di coordinate in quiete rispetto a un osservatore O.

Un secondo osservatore O’ si muove con la stessa velocità v dell’elettrone e del positrone, ma in direzione verticale verso l’alto.

Dal punto di vista di O, per la legge di conservazione dell’energia, è valida la seguente relazione di bilancio energetico prima e dopo la collisione:

\[ m_0c^2 = \frac{2m_{0e}c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad (11.2)\]

Dal punto di vista dell’osservatore O’, la particella formata dopo la collisione si muove verso il basso lungo l’asse verticale con la velocità v (vedi l’animazione).

Considerando che il tempo t che trascorre fino alla collisione sull’asse orizzontale è lo stesso per entrambi gli osservatori, con il teorema di Pitagora si ottiene:

\[ l^2+l’^2= v’^2t^2 \quad \quad (11.1)\]

Applicando il principio di conservazione dell’energia dal punto di vista dell’osservatore O’, si ottiene la seguente relazione:

\[ \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{2m_{0e}c^2}{\sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}} \quad (11.3)\]

Sostituendo a m0c2 il termine a destra della relazione (11.2), si ottiene:

\[ 1-\frac{v^2}{c^2} = \sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}\]

E tenendo conto della relazione (11.1), dopo semplici passaggi algebrici, si ricava la seguente relazione, che esprime la contrazione relativistica delle lunghezze in funzione della velocità.

\[ l’=l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]
Derivazione della contrazione delle lunghezze - Andamento della contrazione in funzione della velocità

La versione dettagliata della derivazione alternativa della contrazione delle lunghezze e della dilatazione dei tempi è riportata nell’undicesimo capitolo del libro “Newton e la Relatività“.

Prosegui sul percorso alternativo delle dimostrazioni relativistiche: Trasformazione della coordinata spaziale e temporale.

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