Die Herleitung des relativistischen Doppler-Effekts kann durch die Anwendung der Erhaltungssätze der Energie und des Impulses auf den Prozess der Paarvernichtung erfolgen.

(Dies ist eine gekürzte Version der Herleitung des relativistischen Doppler-Effekts. Für die detaillierte Version der Herleitung klicken Sie hier).

Nach der Annihilation des Elektron-Positron-Paares entsteht ein instabiles Teilchen aus dessen Zerfall die Emission von zwei Photonen in entgegengesetzte Richtungen erfolgen kann:

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Bei diesem Vorgang wird die gesamte Masse des Teilchens in die Energie 2hf der beiden emittierten Photonen umgewandelt. Deswegen:

Für einen Beobachter, der sich in Ruhe mit dem Teilchen befindet, gilt die folgende Beziehung der Energieerhaltung vor und nach dem Teilchen-Zerfall:

\[ m_0c^2= 2hf \]

Wobei m0 ist die Masse des nach der Annihilation gebildeten instabilen Teilchens, c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, h ist das Plancksche Wirkungsquantum und f ist die zu den Photonen zugehörige elektromagnetische Frequenz.

Für einen zweiten Beobachter, der sich stattdessen mit der Geschwindigkeit v bewegt, gelten die folgenden Beziehungen der Energie-:

\[ \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=hf_1+hf_2\]

und der Impulserhaltung:

\[ \frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{hf_1}{c}-\frac{hf_2}{c}\]

vor und nach dem Zerfall des Teilchens.

Die Lösung der drei Gleichungen in Bezug auf die vom bewegten Beobachter gemessenen Frequenzen f1 und f2, als Funktion der vom ruhenden Beobachter gesehenen Frequenz f, führt zu den Beziehungen des relativistischen optischen Doppler-Effekts für eine sich nähernde Lichtquelle:

\[f_1=f\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\]
Herleitung des relativistischen Doppler-Effekts - Lichtquelle nähert sich - Klassischer und relativistischer Frequenzverlauf

und für eine Lichtquelle, die sich entfernt:

\[f_2=f\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\]
Herleitung des relativistischen Doppler-Effekts - Lichtquelle entfernt sich - Klassischer und relativistischer Frequenzverlauf

Die detaillierte Version der Herleitung des relativistischen Doppler-Effekts wird im fünfzehnten Kapitel des Buches “Newton und die Relativität” beschrieben.

Weiter auf dem alternativen Weg der relativistischen Beweise: Herleitung der relativistischen Beschleunigung.

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