Eine alternative Herleitung der Längenkontraktion kann ohne die Lorentz-Transformation unter Anwendung des Energieerhaltungssatzes erfolgen.

(Dies ist eine gekürzte Fassung der alternativen Herleitung der Längenkontraktion. Für die detaillierte Version der Herleitung klicken Sie hier).

Zur Herleitung der Längenkontraktion stellen wir uns in einem Gedankenexperiment die Kollision eines Elektrons und eines Positrons vor.

Kollision von Elektron und Positron, aus der Sicht eines ruhenden Beobachters und eines Beobachters in vertikaler Bewegung

Es wird angenommen, dass sich infolge der Kollision ein neues Teilchen bildet, das im Ursprung eines zu dem Beobachter O ruhenden Koordinatensystems liegt.

Ein zweiter Beobachter O’ bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit v des Elektrons und des Positrons, jedoch in vertikaler Richtung nach oben.

Aus der Sicht von Beobachter O gilt wegen des Energieerhaltungssatzes vor und nach der Kollision folgende Beziehung des Energiebilanzen:

\[ m_0c^2 = \frac{2m_{0e}c^2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad (11.2)\]

Aus der Sicht des Beobachters O’ bewegt sich das nach der Kollision gebildete Teilchen mit der Geschwindigkeit v entlang der vertikalen Achse nach unten (siehe Animation).

Da die Zeit t, die bis zur Kollision auf der horizontalen Achse verstreicht, für beide Beobachter gleich ist, ergibt sich aus dem Lehrsatz des Pythagoras:

\[ l^2+l’^2= v’^2t^2 \quad \quad (11.1)\]

Unter Berücksichtigung des Energieerhaltungssatzes ergibt sich aus der Sicht des Beobachters O’ folgende Beziehung:

\[ \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{2m_{0e}c^2}{\sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}} \quad (11.3)\]

Durch Ersetzen von m0c2 durch den Term rechts von der Beziehung (11.2) erhalten wir:

\[ 1-\frac{v^2}{c^2} = \sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}\]

Und unter Berücksichtigung der Beziehung (11.1) wird nach einfachen algebraischen Schritten die folgende Relation erhalten, welche die relativistische Längenkontraktion in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit ausdrückt.

\[ l’=l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]
Alternative Herleitung der Längenkontraktion - Längenkontraktion in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

Wir möchten hiermit betonen, dass in dieser Abhandlung die relativistische Relation der Längenkontraktion hergeleitet wurde, ohne das Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit voraussetzen zu müssen (siehe “Abfolge der relativistischen Herleitungen“).

Die detaillierte Fassung der alternativen Herleitung der Längenkontraktion und Zeitdilatation finden Sie im elften Kapitel des Buches “Newton und die Relativität“.

Weiter auf dem alternativen Weg der relativistischen Beweise: Raumkoordinaten- und Zeit-Transformation.

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